Question

16．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx+c（ω＞0，x∈R，c是实数常数）的图象上的一个最高点（$\frac{π}{6}$，1），与该最高点最近的一个最低点是（$\frac{2π}{3}$，-3）
（1）求函数f（x）的解析式及其单调增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=-$\frac{1}{2}$ac，求函数$f（B+\frac{π}{8}）$的值．

Answer 1

分析 （1）利用辅助角公式化简，再由（$\frac{π}{6}$，1）与（$\frac{2π}{3}$，-3）分别是函数图象上相邻的最高点和最低点列式求得c与ω的值，则函数解析式可求，再由复合函数的单调性求得函数的单调增区间；
（2）由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=-$\frac{1}{2}$ac求得角B，代入$f（B+\frac{π}{8}）$，然后利用两角差的正弦求解．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx+c=$2sin（ωx+\frac{π}{6}）+c$．
且（$\frac{π}{6}$，1）与（$\frac{2π}{3}$，-3）分别是函数图象上相邻的最高点和最低点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{T}{2}=\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}}\\{ω=\frac{2π}{T}}\\{2sin（\frac{π}{6}•ω+\frac{π}{6}）+c=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{T=π}\\{c=-1}\\{ω=2}\end{array}\right.$．
∴$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）-1$．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间是[$kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}$]，k∈Z；
（2）∵在△ABC中，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=-$\frac{1}{2}$ac，
∴ac•cos（π-B）=-$\frac{1}{2}$ac，
∵0＜B＜π，∴B=$\frac{π}{3}$．
∴$f（B+\frac{π}{8}）=2sin[（\frac{π}{3}+\frac{π}{8}）+\frac{π}{6}]-1$
=$2sin\frac{13π}{12}-1=-2sin\frac{π}{12}-1$=$-2sin（\frac{π}{4}-\frac{π}{6}）-1$
=$-2（sin\frac{π}{4}cos\frac{π}{6}-cos\frac{π}{4}sin\frac{π}{6}）-1=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}-2}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查三角形的解法，训练了三角函数中的恒等变换应用，是中档题．