Question

8．若函数f（x）是定义域D内的某个区间I上的增函数，且$F（x）=\frac{f（x）}{x}$在I上是减函数，则称y=f（x）是I上的“单反减函数”，已知$f（x）=lnx，g（x）=2x+\frac{2}{x}+alnx（a∈R）$
（1）判断f（x）在（0，1]上是否是“单反减函数”；
（2）若g（x）是[1，+∞）上的“单反减函数”，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可；
（2）求出a的范围，问题转化为ax-axlnx-4≤0在[1，+∞）恒成立，令p（x）=ax-axlnx-4，根据函数的单调性求出a的具体范围即可．

解答 解：（1）由于f（x）=lnx，在（0，1]上是增函数，且F（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{lnx}{x}$，
∵F′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，∴当x∈（0，1]时，F′（x）＞0，F（x）为增函数，
∴f（x）在（0，1]上不是“单反减函数”；…（6分）
（2）∵g（x）=2x+$\frac{2}{x}$+alnx，
∴g′（x）=2-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}+ax-2}{{x}^{2}}$，…（8分）
∵g（x）是[1，+∞）上的“单反减函数”，
∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴g′（1）≥0，∴a≥0，…（9分）
又G（x）=$\frac{g（x）}{x}$=2+$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{alnx}{x}$在[1，+∞）上是减函数，
∴G′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，即-$\frac{4}{{x}^{3}}$+$\frac{a（1-lnx）}{{x}^{2}}$≤0在[1，+∞）恒成立，
即ax-axlnx-4≤0在[1，+∞）恒成立，…（11分）
令p（x）=ax-axlnx-4则p′（x）=-alnx，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{p（1）≤0}\end{array}\right.$，解得0≤a≤4，
综上所述0≤a≤4…（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．