Question

20．已知$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{3}}）$，则$f（{\frac{2π}{3}}）$=-$\sqrt{3}$；若f（x）=-2，则满足条件的x的集合为$\{x|x=kπ-\frac{5}{12}π\;，k∈Z\}$；将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位再向下平移2个单位，得到函数g（x），则g（x）的解析式为g（x）=2sin2x-2．

Answer 1

分析 由已知及特殊角的三角函数值即可计算得解$f（{\frac{2π}{3}}）$的值；由f（x）=-2，可求sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-1，利用正弦函数的图象和性质可求满足条件的x的集合；利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求g（x）的解析式．

解答 解：∵$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{3}}）$，
∴$f（{\frac{2π}{3}}）$=2sin（2×$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{5π}{3}$=-$\sqrt{3}$，
∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-2，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-1，可得：2x+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：x=kπ-$\frac{5π}{12}$，k∈Z，则满足条件的x的集合为$\{x|x=kπ-\frac{5}{12}π\;，k∈Z\}$．
∵$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{3}}）$，
∴将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位再向下平移2个单位，得到函数g（x），则g（x）的解析式为：g（x）=f（x-$\frac{π}{6}$）-2=2sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]-2=2sin2x-2
故答案为：-$\sqrt{3}$，$\{x|x=kπ-\frac{5}{12}π\;，k∈Z\}$，g（x）=2sin2x-2．

点评 本题主要考查了特殊角的三角函数值，正弦函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，考查了数形结合思想，属于基础题．