Question

10．设函数f（x）=|-2x+4|-|x+6|．
（1）求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）＞a+|x-2|存在实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；
（2）问题等价于|x-2|-|x+6|＞a，根据绝对值不等式的性质求出a的范围即可．

解答 解：（1）f（x）≥0即|2x-4|-|x+6|≥0，
可化为①$\left\{\begin{array}{l}{x＜-6}\\{-（2x-4）+（x+6）≥0}\end{array}\right.$
或②$\left\{\begin{array}{l}{-6≤x≤2}\\{-（2x-4）-（x+6）≥0}\end{array}\right.$，
或③$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{（2x-4）-（x+6）≥0}\end{array}\right.$，
解得x＜-6或-6≤x≤-$\frac{2}{3}$或x≥10，
综上，不等式的解集是（-∞，-$\frac{2}{3}$]∪[10，+∞）；
（2）f（x）＞a+|x-2|等价于2|x-2|-|x+6|＞a+|x-2|，
等价于|x-2|-|x+6|＞a，
而|x-2|-|x+6|≤|x-2-x-6|=8，
若f（x）＞a+|x-2|存在实数解，则a＜8，
即实数a的范围是（-∞，8）．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，考查绝对值的性质，是一道中档题．