Question

5．在△ABC中，若$\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{b}{a}$，$\frac{cosB}{cosC}$=$\frac{c}{b}$，则△ABC是（　　）

• A． 直角三角形
• B． 等腰三角形，但不是正三角形
• C． 直角三角形或等腰三角形
• D． 正三角形

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，可求范围A∈（0，$\frac{π}{2}$），B∈（0，$\frac{π}{2}$），C∈（0，$\frac{π}{2}$），利用二倍角的正弦函数公式可得sin2A=sin2B=sin2C，结合范围2A∈（0，π），2B∈（0，π），2C∈（0，π），根据正弦函数的图象和性质即可解得A=B=C，从而得解三角形的形状．

解答 解：∵$\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{b}{a}$，$\frac{cosB}{cosC}$=$\frac{c}{b}$，
∴可得：acosA=bcosB=ccosC，
∴由正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，
∵A，B，C为三角形内角，可得：cosA＞0，cosB＞0，cosC＞0，即A∈（0，$\frac{π}{2}$），B∈（0，$\frac{π}{2}$），C∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴可得：sin2A=sin2B=sin2C，2A∈（0，π），2B∈（0，π），2C∈（0，π），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2A=2B}\\{2A=π-2B（舍去）}\end{array}\right.$且$\left\{\begin{array}{l}{2B=2C}\\{2B=π-2C（舍去）}\end{array}\right.$，且$\left\{\begin{array}{l}{2C=2A}\\{2C=π-2A（舍去）}\end{array}\right.$，可得：A=B=C．
故选：D．

点评 本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和数形结合思想的综合应用，属于中档题．