Question

15．已知△ABC三顶点的坐标为A（1，0），B（0，2），O（0，0），P（x，y）是坐标平面内一点，且满足$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{OA}$≤0，$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{OB}$≥0，则$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}$的最小值是3．

Answer 1

分析 根据平面向量的坐标运算与数量积运算，求出x、y的取值范围，再求$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}$的最小值．

解答 解：由已知得$\overrightarrow{AP}$=（x-1，y），$\overrightarrow{OA}$=（1，0），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{OA}$=x-1≤0，
解得x≤1①；
又$\overrightarrow{BP}$=（x，y-2），$\overrightarrow{OB}$=（0，2），
∴$\overrightarrow{BP}$$•\overrightarrow{OB}$=2（y-2）≥0，
解得y≥2②；
又$\overrightarrow{OP}$=（x，y），$\overrightarrow{AB}$=（-1，2），
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$=-x+2y≥-1+4=3，
即$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}$的最小值是3．
故答案为：3．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算问题，是基础题．