Question

7．已知点P在曲线C₁：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$上，点Q在曲线C₂：（x-4）²+y²=1上，点R在曲线C₃：（x+4）²+y²=1上，则|PQ|+|PR|的最大值是12．

Answer 1

分析 曲线C₁：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的两焦点恰为曲线C₂：（x-4）²+y²=1上，曲线C₃：（x+4）²+y²=1上，的圆心坐标．设椭圆左右焦点为F₁，F₂，由三角形两边之差小于第三边知：|PR|最小为|PF₁|-1，最大为|PF₁|+1，同理：|PQ|最小为|PF₂|-1，最大为|PF₂|+1，从而可求|PQ|+|PR|的最大值．

解答 解：椭圆C₁：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的两焦点为（-4，0），（4，0），
恰为两圆（x+4）²+y²=1和（x-4）²+y²=1的圆心坐标．椭圆左右焦点为F₁，F₂，
由三角形两边之差小于第三边知：|PR|最小为|PF₁|-1，最大为|PF₁|+1，
同理：|PQ|最小为|PF₂|-1，最大为|PF₂|+1，
∴|PQ|+|PR|的最小为|PF₁|+|PF₂|-2=2×5-2=8，最大为|PF₁|+|PF₂|+2=2×5+2=12．
故|PQ|+|PR|的最大值为12，
故答案为：12．

点评 本题的考点是圆与圆锥曲线的综合，考查线段和的取值范围问题，解题的关键是利用椭圆的两焦点恰为两圆（x+4）²+y²=1和（x-4）²+y²=1的圆心坐标．