Question

18．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是B₁B，BC的中点，
（1）证明：EF∥A₁D；
（2）证明：A₁E，AB，DF三线共点；
（3）问：线段CD上是否存在一点G，使得直线FG与平面A₁EC₁所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，若存在，请指出点G的位置，说明理由；若没有，也请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接EF，B₁C，利用中位线证明EF∥A₁D．
（2）说明A₁E，DF共面．设A₁E∩DF=P，证明点P在面ABCD与面AA₁B₁B的公共直线AB上，即可证明A₁E，AB，DF三线共点．
（3）AA₁，AB，AD两两垂直，以AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴建立如图所示的空间直角坐标系求出$\overrightarrow{{A_1}E}=（2，0，-1）$，$\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=（2，2，0）$，假设满足条件的点G存在，设G（a，2，0），a∈（0，2）求出平面A₁EC₁的法向量，然后设直线FG与平面A₁EC₁的平面角为θ，利用向量的数量积求解即可．

解答 （1）证明：连接EF，B₁C，由E，F分别是B₁B，BC的中点，得
EF$\underline{\underline∥}$$\frac{1}{2}{B_1}C$，又B₁C$\underline{\underline∥}$A₁D，∴EF∥A₁D…..2分
（2）证明：EF∥A₁D且EF≠A₁D，∴A₁E，DF共面．∴设A₁E∩DF=P，则P∈A₁E，而A₁E?面AA₁B₁B，∴P∈面AA₁B₁B；
同理可得∴P∈面ABCD，∴点P在面ABCD与面AA₁B₁B的公共直线AB上，
即A₁E，AB，DF三线共点．…4分
（3）解：根据题意可知，AA₁，AB，AD两两垂直，以AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴建立如图所示的空间直角坐标系：A₁（0，0，2），E（2，0，1），C₁（2，2，2），F（2，1，0），故$\overrightarrow{{A_1}E}=（2，0，-1）$，$\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=（2，2，0）$．…6分
假设满足条件的点G存在，设G（a，2，0），a∈（0，2）则$\overrightarrow{FG}=（a-2，1，0）$
设平面A₁EC₁的法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，则由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m⊥\overrightarrow{{A_1}E}\\ \overrightarrow m⊥\overrightarrow{{A_1}{C_1}}\end{array}\right.$，得，$\left\{\begin{array}{l}2x-z=0\\ 2x+2y=0\end{array}\right.$…8分

不妨取z=2，则x=1，y=-1．
所以平面A₁EC₁的一个法向量为$\overrightarrow m=（1，-1，2）$…10分
设直线FG与平面A₁EC₁的平面角为θ，则$sinθ=|{cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow{FG}＞}|=|{\frac{{\overrightarrow m•\overrightarrow{FG}}}{{|\overrightarrow m||\overrightarrow{FG}|}}}|=|{\frac{（a-2）×1+（-1）×1+2×0}{{\sqrt{{{（a-2）}^2}+{1^2}+{0^2}}×\sqrt{{1^2}+{{（-1）}^2}+{2^2}}}}}|=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
得 a=1．….13分
故线段CD上存在点G，使得直线FG与平面A₁EC₁所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，G 是线段CD的中点．…14分．

点评 本题考查三点共线，直线与直线的平行的判断，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．