Question

13．已知函数f（x）=（x²-x+1）e^x，g（x）=x²-bx+9（b∈R），若对任意x₁∈R，存在x₂∈[1，3]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，则实数b的取值范围是[6，+∞）．

Answer 1

分析 问题转化为f（x₁）_min＞g（x₂）_min成立，根据函数的单调性分别求出函数g（x）的最小值和f（x）的最小值，得到关于b的不等式，解出即可．

解答 解：f（x）=（x²-x+1）e^x，
f′（x）=（x²+x）e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜0，
故f（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，0）递减，在（0，+∞）递增，
故x→-∞时，f（x）→0，
若对任意x₁∈R，存在x₂∈[1，3]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，
只需g（x）_min≤0在[1，3]成立，
g（x）的对称轴是x=$\frac{b}{2}$，
$\frac{b}{2}$≤1时，g（x）在[1，3]递增，g（x）_min=g（1）=10-b≤0，无解，
1＜$\frac{b}{2}$＜3时，g（x）_min=g（$\frac{b}{2}$）=$\frac{{b}^{2}}{4}$-$\frac{{b}^{2}}{2}$+9≤0，无解，
$\frac{b}{2}$≥3时，g（x）_min=g（3）=18-3b≤0，解得：b≥6，
故答案为：[6，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．