Question

3．对于函数y=f（x），若存在开区间D，同时满足：
①存在a∈D，当x＜a时，函数f（x）单调递减，当x＞a时，函数f（x）单调递增；
②对任意x＞0，只要a-x，a+x∈D，都有f（a-x）＞f（a+x），则称y=f（x）为D内的“勾函数”．
（1）证明：函数y=|lnx|为（0，+∞）内的“勾函数”．
（2）对于给定常数λ，是否存在m，使函数h（x）=$\frac{1}{3}$λx³-$\frac{1}{2}$λ²x²-2λ³x+1在（m，+∞）内为“勾函数”？若存在，试求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用“勾函数”的定义及已知条件即可证明；（2）利用“勾函数”的定义中的两个条件判断是否满足即可．

解答 证明：（1）①存在a=1，当x∈（0，1），f（x）=-lnx为减函数，
当x∈（1，+∞），f（x）=lnx为增函数；
②对任意x＞0，当1-x＞0时，f（1-x）=|ln（1-x）|=-ln（1-x），
f（1+x）=|ln（1+x）|=ln（1+x），
所以f（1-x）-f（1+x）=-ln（1-x）-ln（1+x）=-ln（1-x²）＞0，
即f（1-x）＞f（1+x），
所以函数y=|lnx|为（0，+∞）内的“勾函数”．
（2）①当λ=0时，h（x）=1，不存在m使函数h（x）在（m，+∞）内为“勾函数”；
②当λ＜0时，h′（x）=λx²-λ²x-2λ³=λ（x+λ）（x-2λ），
当x∈（2λ，-λ）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；
当x∈（-λ，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，
因此不存在m及常数x₀，使函数h（x）在（m，x₀）为减函数，同时在（x₀，+∞）为增函数．
所以不存在m使函数h（x）在（m，+∞）内为“勾函数”．
 ③当λ＞0时，h（x）在（-λ，2λ）为减函数，在（2λ，+∞）为增函数．
当m∈[-λ，2λ），则在（m，+∞）上存在a=2λ，使h（x）在（m，a）内为减函数，在（a，+∞）内为增函数．
当x＞0，a-x，a+x∈（m，+∞）时，
因为h（a-x）-h（a+x）
=$\frac{1}{3}$λ[（2λ-x）³-（2λ+x）³]-$\frac{1}{2}$λ²[（2λ-x）²-（2λ+x）²]-2λ³[（2λ-x）-（2λ+x）]
=-$\frac{2}{3}$λx³＜0
所以h（a-x）＜h（a+x），
所以也不存在m使函数h（x）在（m，+∞）内为“勾函数”，
综上所述，不论常数λ取何值，都不存在m，
使函数h（x）在（m，+∞）内为“勾函数”．

点评 熟练掌握对数函数的单调性、“勾函数”的定义、利用导数研究函数的单调性是解题的关键．