Question

11．如图：在一个奥运场馆建设现场，现准备把一个半径为$\sqrt{3}$m的球形工件吊起平放到6m高的平台上，工地上有一个吊臂长DF=12m的吊车，吊车底座FG高1.5m．当物件与吊臂接触后，钢索CD长可通过顶点D处的滑轮自动调节并保持物件始终与吊臂接触．求物件能被吊车吊起的最大高度，并判断能否将该球形工件吊到平台上？

Answer 1

分析 吊车能把球形工件吊上的高度y取决于吊臂的张角θ，求出y=12sinθ$-\frac{\sqrt{3}}{cosθ}$$-\sqrt{3}$+1.5，通过函数的导数求出极值点，判断函数的单调性，然后求解函数的最值．

解答 解：吊车能把球形工件吊上的高度y取决于吊臂的张角θ，由图可知，$y=AB+1.5=AD-OD-OB+1.5=DFsinθ-\frac{{\sqrt{3}}}{cosθ}-\sqrt{3}+1.5=12sinθ-\frac{{\sqrt{3}}}{cosθ}-\sqrt{3}+1.5$
…（5分）
所以${y^/}=12cosθ-\frac{{\sqrt{3}•sinθ}}{{{{cos}^2}θ}}$，…（8分）
由y′=0，得$12cosq=\frac{{\sqrt{3}sinθ}}{{{{cos}^2}θ}}，4\sqrt{3}{cos^3}θ=sinθ$∴$4\sqrt{3}=tanθ（1+{tan^2}θ），{tan^3}θ+tanθ-4\sqrt{3}=0，{tan^3}θ-{（\sqrt{3}）^3}+tanθ-\sqrt{3}=0$$（tanθ-\sqrt{3}）（{tan^2}θ-\sqrt{3}tanθ+4）=0$，∴$tanθ=\sqrt{3}，θ={60^0}$，…（12分）
当0⁰＜θ＜60⁰时，12${cos^3}θ＞\frac{3}{2}，\sqrt{3}sinθ＜\frac{3}{2}$，
∴y′＞0
同理，当60⁰＜θ＜90⁰时，y'＜0，
所以当当0⁰＜θ＜60⁰时，y单调递增，当60⁰＜θ＜90⁰时，y单调递减，
所以θ=60⁰时，y取最大值．…（14分
${y_{max}}=12sinθ-\frac{{\sqrt{3}}}{cosθ}-\sqrt{3}+1.5=3\sqrt{3}+1.5≈6.6（m）$
所以吊车能把圆柱形工件吊起平放到6m高的桥墩上．…（16分）

点评 本题考查函数的应用，函数的最值以及单调性的判断，考查分析问题解决问题的能力．