Question

2．已知实数x，y满足xy+1=4x+y（x＞1），则（x+1）（y+2）的最小值为27，此时x+y=9．

Answer 1

分析 可用y表示x，求出y＞4，化简（x+1）（y+2），应用基本不等式，求出最小值．

解答 解：∵xy+1=4x+y，且x＞1，
∴x=$\frac{y-1}{y-4}$＞1，解得，y＞4，
∴（x+1）（y+2）=xy+2x+y+2=1+2（3x+y）
=1+2（$\frac{3y-3}{y-4}$+y）=1+2[7+（y-4）+$\frac{9}{y-4}$]
≥1+2（7+6）=27，当且仅当y=7，x=2，即x+y=9时取等号，
∴（x+1）（y+2）取最小值为27．
故答案为：27，9

点评 本题主要考查基本不等式及应用，解题时应注意变量的范围，同时用一个变量表示另一个变量，这是解题常用的方法，应掌握，最后要检验最值取得的条件．