Question

19．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），F（-c，0）为其左焦点，点P（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，0），A₁，A₂分别为椭圆的左、右顶点，且|A₁A₂|=4，|PA₁|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|A₁F|．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点A₁作两条射线分别与椭圆交于M、N两点（均异于点A₁），且A₁M⊥A₁N，证明：直线MN恒过x轴上的一个定点．

Answer 1

分析 （1）由已知列关于a，c的方程组，求解可得a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）由已知直线MN与y轴不垂直，假设其过定点T（n，0），设其方程为x=my+n，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系结合A₁M⊥A₁N求解．

解答 （1）解：∵|A₁A₂|=4，∴a=2，
又∵|PA₁|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|A₁F|，∴$\frac{{a}^{2}}{c}-a=\frac{2\sqrt{3}}{3}（a-c）$，
整理得$\frac{a}{c}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴c=$\sqrt{3}$，
则b²=a²-c²=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：由已知直线MN与y轴不垂直，假设其过定点T（n，0），设其方程为x=my+n，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+n}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（m²+4）y²+2mny+n²-4=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{2mn}{{m}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{{n}^{2}-4}{{m}^{2}+4}$．
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2n，${x}_{1}{x}_{2}=（m{y}_{1}+n）（m{y}_{2}+n）={m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+mn（{y}_{1}+{y}_{2}）+{n}^{2}$．
∵A₁M⊥A₁N，∴$\overrightarrow{{A}_{1}M}•\overrightarrow{{A}_{1}N}=（{x}_{1}+2，{y}_{1}）•（{x}_{2}+2，{y}_{2}）=0$．
∴x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=0，
∴$（{m}^{2}+1）{y}_{1}{y}_{2}+m（n+2）（{y}_{1}+{y}_{2}）+（n+2）^{2}=0$．
即$\frac{（{m}^{2}+1）（n+2）（n-2）}{{m}^{2}+4}-\frac{2n{m}^{2}（n+2）}{{m}^{2}+4}+（n+2）^{2}=0$．
化简得：（n+2）（5n+6）=0，
若n=-2，则T与A重合，不合题意，
∴n+2≠0，
整理得n=-$\frac{6}{5}$．
综上，直线MN过定点T（$-\frac{6}{5}，0$）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．