Question

20．设公比不为1的等比数列{a_n}的前n项和S_n，已知a₁a₂a₃=8，S_2n=3（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（-1）ⁿlog₂a_n，求数列{b_n}的前2017项和T₂₀₁₇．

Answer 1

分析 （I）设等比数列{a_n}的公比为q≠1，由a₁a₂a₃=8，S_2n=3（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）（n∈N^*）．可得：${a}_{2}^{3}$=8，S₂=3a₁=a₁+a₂，解出a₁，a₂，可得q，a_n．
（II）b_n=（-1）ⁿlog₂a_n=（-1）ⁿn．通过分组求和即可得出．

解答 解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q≠1，∵a₁a₂a₃=8，S_2n=3（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）（n∈N^*）．
∴${a}_{2}^{3}$=8，S₂=3a₁=a₁+a₂，解得a₁=1，a₂=2，∴q=2．
∴a_n=2ⁿ．
（II）b_n=（-1）ⁿlog₂a_n=（-1）ⁿn．
∴数列{b_n}的前2017项和T₂₀₁₇=（-1+2）+（-3+4）+…+（-2015+2016）-2017
=1008-2017
=-1009．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．