Question

17．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量集D={|$\overrightarrow{a}$|$\overrightarrow{a}$=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“?”．定义如下：对于任意两个向量$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（x₂，y₂），$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{2}}$当且仅当“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”．按上述定义的关系“?”，给出如下四个命题：
①若$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$，则对于任意$\overrightarrow{a}$∈D，（$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{a}$）＞（$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{a}$）；
②若$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$＞$\overrightarrow{{a}_{3}}$，则$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞$\overrightarrow{{a}_{3}}$；③对于任意向量$\overrightarrow{a}$＞$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{0}$=（0，0）若$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{{a}_{2}}$
④若$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（0，1），$\overrightarrow{0}$=（0，0），则$\overrightarrow{{e}_{1}}$?$\overrightarrow{{e}_{2}}$?$\overrightarrow{0}$；
其中真命题的序号为①②④．

Answer 1

分析 根据已知中任意两个向量$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（x₂，y₂），当且仅当“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”时，$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{2}}$成立．逐一判断四个结论的真假得答案．

解答 解：①设$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（x₂，y₂），$\overrightarrow{a}$=（x，y），
则$\overrightarrow{{a}_{1}}+\overrightarrow{a}$=（x₁+x，y₁+y），$\overrightarrow{{a}_{2}}+\overrightarrow{a}$=（x₂+x，y₂+y），
由$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{2}}$，得“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”，
若x₁＞x₂，则x₁+x＞x₂+x，∴（$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{a}$）?（$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{a}$）；
若x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂，则x₁+x=x₂+x且y₁+y＞y₂+y，
∴（$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{a}$）?（$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{a}$）．
综上所述，若$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{2}}$，则对于任意$\overrightarrow{a}$∈D，（$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{a}$）?（$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{a}$），故①正确；
②设$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（x₂，y₂），$\overrightarrow{{a}_{3}}$=（x₃，y₃），
由$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{2}}$，得“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”，
由$\overrightarrow{{a}_{2}}$?$\overrightarrow{{a}_{3}}$，得“x₂＞x₃”或“x₂=x₃且y₂＞y₃”，
若“x₁＞x₂＞x₃”，则$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{3}}$；
若“x₁＞x₂”，且“x₂=x₃且y₂＞y₃”，则“x₁＞x₃”，∴$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{3}}$；
若“x₁=x₂且y₁＞y₂”且“x₂＞x₃”，
则x₁＞x₃，$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{3}}$；若“x₁=x₂且y₁＞y₂”且“x₂=x₃且y₂＞y₃”，
则x₁=x₃且y₁＞y₃，∴$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{3}}$．
综上所述，若$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$?$\overrightarrow{{a}_{3}}$，则$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{3}}$，故②正确；
③设$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（x₂，y₂），$\overrightarrow{a}$=（x，y），
由$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{0}$，得“x＞0”或“x=0且y＞0”，
由$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{2}}$，得“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”，
若“x=0且y＞0”且“x₁＞x₂且y₁＜y₂”，则“xx₁=xx₂且yy₁＜yy₂”，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{{a}_{2}}$不成立，故③错误；
④∵任意两个向量$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（x₂，y₂），当且仅当“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”时，$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{2}}$成立．
∵若$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（0，1），$\overrightarrow{0}$=（0，0），则$\overrightarrow{{e}_{1}}$?$\overrightarrow{{e}_{2}}$?$\overrightarrow{0}$，故④正确．
∴真命题的序号是①②④．
故答案为：①②④．

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了新定义正确理解新定义“?”正确理解的“?”的实质是解答的关键，是中档题．