Question

5．设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是不共线的两个非零向量．
（1）若$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OB}$=3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$，求证：A，B，C三点共线．
（2）若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$，且A，C，D三点共线，求k的值．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$，可得$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CA}$，即可证明A，B，C三点共线．
（2）$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$=$3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$，根据A，C，D三点共线，可得存在实数λ使得$\overrightarrow{CD}$=λ$\overrightarrow{AC}$，即可得出．

解答 （1）证明：∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CA}$，∴A，B，C三点共线．
（2）解：$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$=$3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$，
∵A，C，D三点共线，∴存在实数λ使得$\overrightarrow{CD}$=λ$\overrightarrow{AC}$，
∴2$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$=$3λ\overrightarrow{a}$-2$λ\overrightarrow{b}$，又$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是不共线的两个非零向量．
∴$\left\{\begin{array}{l}{3λ=2}\\{-2λ=-k}\end{array}\right.$，解得k=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了向量共线定理、向量相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．