Question

15．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E为PA的中点．
（1）求证：PC∥平面EBD；
（2）在侧棱PC上是否存在一点M，满足PC⊥平面MBD，若存在，求PM的长；若不存在，说明理由．
（3）求三棱锥C-PAD的体积V_C-PAD．

Answer 1

分析 （1）设AC、BD相交于点F，连结EF，推导出EF∥PC，由此能证明PC∥平面EBD．
（2）推导出PA⊥BD，AC⊥BD，从而BD⊥平面PAC，进而BD⊥PC，在平面PBC内，作BM⊥PC，垂足为M，求出PM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＜2$\sqrt{2}$，连结MD，求出满足条件的点M存在，并能求出PM的长．
（3）三棱锥C-PAD的体积V_C-PAD=V_P-ACD，由此能出结果．

解答 证明：（1）设AC、BD相交于点F，连结EF，
∵底面ABCD为菱形，∴F为AC的中点，
又∵E为PA的中点，∴EF∥PC，
又∵EF?平面EBD，PC?平面EBD，
∴PC∥平面EBD．
解：（2）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，
又∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC，
在△PBC内，由题意得PB=PC=2$\sqrt{2}$，BC=2，
在平面PBC内，作BM⊥PC，垂足为M，设PM=x，
则有8-x²=4-（2$\sqrt{2}$-x）²，解得x=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＜2$\sqrt{2}$，
连结MD，∵PC⊥BD，BM⊥PC，BM∩BD=B，BM?平面BDM，BD?平面BDM，
∴PC⊥平面BDM，∴满足条件的点M存在，此时PM的长为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
（3）∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ACD是边长为2的正三角形，
又∵PA⊥底面ABCD，∴PA为三棱锥P-ACD的高，
∴三棱锥C-PAD的体积V_C-PAD=V_P-ACD=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•PA=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×2$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查满足条件的点是否存在的判断及线段长的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．