Question

4．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$\overrightarrow m=（sinA-sinB，sin（A+B））$，$\overrightarrow n=（a-c，a+b）$，且$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，
（Ⅰ）若a=3c，且△ABC的面积$S=3\sqrt{3}$，求b；
（Ⅱ）求2sin²A+cos（A-C）的范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意向量平行，建立等式关系，正余弦定理化简，求解cosA，根据a=3c，且△ABC的面积$S=3\sqrt{3}$，即可求出b．
（Ⅱ）利用三角函数公式将2sin²A+cos（A-C）化简，根据三角函数有界限求解范围即可．

解答 解：已知$\overrightarrow m=（sinA-sinB，sin（A+B））$，$\overrightarrow n=（a-c，a+b）$，
∵$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，
∴（a+b）（sinA-sinB）=（a-c）sin（A+B），即（a+b）（sinA-sinB）=（a-c）sinC，
正弦定理化简可得：a²-b²=ac-c²，余弦定理：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π．
∴B=$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）ABC的面积$S=3\sqrt{3}$，即$\frac{1}{2}$acsinB=$3\sqrt{3}$，
∴ac=12，
∵a=3c．
∴a=6，c=2．
由余弦定理：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
可得：b=$2\sqrt{7}$，
（Ⅱ）∵A+B+C=π，B=$\frac{π}{3}$，
∴C=$\frac{2π}{3}-A$，
那么：2sin²A+cos（A-C）=1-cos2A+cos（2A-$\frac{2π}{3}$）=1-cos2A-$\frac{1}{2}$cos2A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A-$\frac{3}{2}$cos2A+1=$\sqrt{3}$sin（2A-$\frac{π}{3}$）+1
∵$0＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴$-\frac{π}{3}$＜2A-$\frac{π}{3}$＜π．
∴sin（2A-$\frac{π}{3}$）∈（$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．
那么：2sin²A+cos（A-C）的范围是（$-\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}+1$]．

点评 本题主要考查正余弦定理的运用和三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．