Question

12．圆的某些性质可以类比到椭圆和双曲线中，已知命题“直线l与圆x²+y²=r²交于A，B两点，AB的中点为M，若直线AB和OM（O为坐标原点）的斜率均存在，则k_ABk_OM=-1”，类比到椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）中，有命题“直线l与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）交于A，B两点，AB的中点为M，若直线AB和OM（O为坐标原点）的斜率均存在，则k_ABk_OM=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$”

Answer 1

分析 根据题意，设直线l与椭圆的两个交点分别为A（x₁、y₁）、B（x₂、y₂），AB的中点为M，
代入椭圆方程，利用作差法求出斜率之积k_ABk_OM的值．

解答 解：在圆x²+y²=r²中，AB⊥OM，则k_ABk_OM=-1；
在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）中，
设直线l与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的两个交点分别为A（x₁、y₁）、B（x₂、y₂），AB的中点为M，
则b²${{x}_{1}}^{2}$+a²${{y}_{1}}^{2}$=a²b²①，b²${{x}_{2}}^{2}$+a²${{y}_{2}}^{2}$=a²b²②，
①-②得，b²（${{x}_{1}}^{2}$-${{x}_{2}}^{2}$）+a²（${{y}_{1}}^{2}$-${{y}_{2}}^{2}$）=0，
∴b²（x₁+x₂）（x₁-x₂）+a²（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴$\frac{{y}_{1}{+y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$•$\frac{{y}_{1}{-y}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
即k_ABk_OM=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$．
故答案为：-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$．

点评 本题考查了类比推理的问题，也考查了直线与圆，直线与椭圆的应用问题，是中档题．