Question

20．已知函数f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x
（1）求f（x）的对称轴方程和单调递增区间；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，关于x的方程f（$\frac{3}{2}$x）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用降次公式，诱导公式和辅助角公式化简，结合三角函数的性质即可求解f（x）的对称轴方程和单调递增区间；
（2）求出f（$\frac{3}{2}$x）解析式，由x∈[0，$\frac{π}{3}$]上，求解内层函数的范围，数形结合，方程f（$\frac{3}{2}$x）=m恰有两个不同的解，即两个函数图象有2个交点．

解答 解：函数f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x，
化简可得：f（x）=1-cos（$\frac{π}{2}$+2x）$-\sqrt{3}$cos2x=1+sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
对称轴方程：2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}+kπ$，
∴x=$\frac{5π}{12}+\frac{1}{2}kπ$，k∈Z．
∴f（x）的对称轴方程为x=$\frac{5π}{12}+\frac{1}{2}kπ$，k∈Z．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，
解得：$kπ-\frac{π}{12}$≤x≤$kπ+\frac{5π}{12}$，
∴f（x）单调增区间为[$kπ-\frac{π}{12}$，$kπ+\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
则f（$\frac{3}{2}$x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）+1，
∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]上，
∴3x-$\frac{π}{3}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
由图知，若u=sint在[$-\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]上有两个不同的解，则u∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
∴方程则f（$\frac{3}{2}$x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）+1=2u+1=m在[0，$\frac{π}{3}$]时恰好有两个不同的解，则m∈[$\sqrt{3}+1，3$）即实数m的取值范围是[$\sqrt{3}+1，3$）．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．