Question

19．⊙c：x²+y²-2ax-2（2a-1）y+4（a-1）=0，其中a∈R，
（1）当a变化时，求圆心的轨迹方程，
（2）证明⊙c过定点，
（3）求面积最小的⊙c．

Answer 1

分析 （1）确定圆心坐标，消去参数，可得圆心的轨迹方程；
（2）分离参数a，令相应的系数为0，解方程组可得结论；
（3）当圆的直角是两点恒过点的距离是，此时圆C的面积最小．

解答 解：由x²+y²-2ax-2（2a-1）y+4（a-1）=0，可知圆心为（a，2a-1）．
（1）设圆心为C（x，y）则$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=2a-1}\end{array}\right.$，消去a，可得y=2x-1，
∴当a变化时，圆C的圆心的轨迹方程是直线2x-y-1=0．
（2）证明：圆C的方程化为x²+y²+2y-4+a（-2x-4y+4）=0，
令$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}+2y-4=0}\\{-2x-4y+4=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{5}}\\{y=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，
∴无论a取何值时，圆C经过两个定点A（2，0）与B（$-\frac{2}{5}$，$\frac{6}{5}$）．
（3）由（2）知圆C总过定点A（2，0）与B（$-\frac{2}{5}$，$\frac{6}{5}$）．，所以当线段AB是圆C的直径时，圆C的面积最小，最小值为S=π$（\frac{|AB|}{2}）^{2}$=$\frac{9π}{5}$

点评 本题考查圆的方程，考查圆心的轨迹，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．