Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，2S_n=（n+1）a_n，若存在唯一的正整数n使得不等式$a_n^2-t{a_n}-2{t^2}＜0$（t＞0）成立，则正实数t的取值范围为$（{\frac{1}{2}，1}]$．

Answer 1

分析 2S_n=（n+1）a_n，利用n≥2时，2a_n=2S_n-2S_n-1，化为：$\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$．可得$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=…=$\frac{{a}_{2}}{2}=\frac{{a}_{1}}{1}$=1．因此a_n=n．不等式$a_n^2-t{a_n}-2{t^2}＜0$（t＞0），即n²-nt-2t²＜0，解得t$＞\frac{n}{2}$．根据存在唯一的正整数n使得不等式$a_n^2-t{a_n}-2{t^2}＜0$（t＞0）成立即可得出．

解答 解：∵2S_n=（n+1）a_n，∴n≥2时，2a_n=2S_n-2S_n-1=（n+1）a_n-na_n-1，化为：$\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=…=$\frac{{a}_{2}}{2}=\frac{{a}_{1}}{1}$=1．
∴a_n=n．
不等式$a_n^2-t{a_n}-2{t^2}＜0$（t＞0），即n²-nt-2t²＜0，∴（2t-n）（t+n）＞0，
解得t$＞\frac{n}{2}$．
∵存在唯一的正整数n使得不等式$a_n^2-t{a_n}-2{t^2}＜0$（t＞0）成立，
∴n只能取1，因此$\frac{1}{2}＜t≤$1．．
故答案为：$（{\frac{1}{2}，1}]$．

点评 本题考查了数列递推关系、数列的通项公式、不等式的解法、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．