Question

13．已知在数列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，且a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2）．
（1）证明：数列{a_n+1-a_n}为等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2）．变形a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1）（n≥2）．利用等比数列的定义即可证明．利用通项公式可得a_n+1-a_n=2ⁿ．再利用累加求和方法即可得出．
（2）b_n=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，利用错位相减法即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2）．
∴a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1）（n≥2）．
又a₂-a₁=2．
∴数列{a_n+1-a_n}为等比数列，公比为2，首项为2．
∴a_n+1-a_n=2ⁿ．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+2
=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}+1$=2ⁿ．
（2）解：b_n=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}$+2$（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}+2×\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式与求和公式、错位相减法、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．