Question

17．已知数列{a_n}满足a₂=1，|a_n+1-a_n|=$\frac{1}{n（n+2）}$，若a_2n+1＞a_2n-1，a_2n+2＜a_2n（n∈N⁺）则数列{（-1）ⁿa_n}的前40项的和为（　　）

• A． $\frac{19}{20}$
• B． $\frac{325}{462}$
• C． $\frac{41}{84}$
• D． $\frac{20}{41}$

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₂=1，|a_n+1-a_n|=$\frac{1}{n（n+2）}$，则a_n+1-a_n=±$\frac{1}{n（n+2）}$，利用n为偶数时，a_2n+2＜a_2n（n∈N⁺），n为奇数时，a_2n+1＞a_2n-1，可得：n为偶数时，a_n+1-a_n=-$\frac{1}{n（n+2）}$，n为奇数时，a_n+1-a_n=$\frac{1}{n（n+2）}$．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₂=1，|a_n+1-a_n|=$\frac{1}{n（n+2）}$，则a_n+1-a_n=±$\frac{1}{n（n+2）}$，
a_n+2-a_n+1=$±\frac{1}{（n+1）（n+3）}$．∴a_n+2-a_n=±$\frac{1}{n（n+2）}$±$\frac{1}{（n+1）（n+3）}$，∵$\frac{1}{n（n+2）}$＞$\frac{1}{（n+1）（n+3）}$，
n为偶数时，a_2n+2＜a_2n（n∈N⁺），∴a_2n+2-a_2n=-$\frac{1}{n（n+2）}$±$\frac{1}{（n+1）（n+3）}$，
n为奇数时，a_2n+1＞a_2n-1，∴a_2n+1-a_2n-1=$\frac{1}{n（n+2）}$±$\frac{1}{（n+1）（n+3）}$，
综上可得：n为偶数时，a_n+1-a_n=-$\frac{1}{n（n+2）}$，
n为奇数时，a_n+1-a_n=$\frac{1}{n（n+2）}$．
∴数列{（-1）ⁿa_n}的前40项=（a₂-a₁）+（a₄-a₃）+…+（a₄₀-a₃₉）
=$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{39×41}$
=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{39}-\frac{1}{41}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{41}）$
=$\frac{20}{41}$．
故选：D．

点评 本题考查了数列递推关系及其单调性、分类讨论方法、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．