Question

3．已知椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$，F₁，F₂为椭圆的左右焦点，O为原点，P是椭圆在第一象限的点，则$\frac{{|{P{F_1}}|-|{P{F_2}}|}}{{|{PO}|}}$的取值范围（　　）

• A． $（{0，\frac{{\sqrt{5}}}{5}}）$
• B． $（{0，\frac{{2\sqrt{5}}}{5}}）$
• C． $（{0，\frac{{3\sqrt{5}}}{5}}）$
• D． $（{0，\frac{{6\sqrt{5}}}{5}}）$

Answer 1

分析 设出P的坐标，求出表达式相关线段的长度的表达式，利用横坐标的范围求解即可．

解答 解：设P（x₀，y₀），则$0＜{x_0}＜\sqrt{5}$，$e=\frac{1}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$|{P{F_1}}|=\sqrt{5}+\frac{{\sqrt{5}}}{5}{x_0}$，|PF₂|=$\sqrt{5}-\frac{{\sqrt{5}}}{5}{x_0}$，$|{PO}|=\sqrt{x_0^2+y_0^2}=\sqrt{\frac{1}{5}x_0^2+4}$，则$\frac{{|{P{F_1}}|-|{P{F_2}}|}}{{|{PO}|}}=\frac{{\frac{{2\sqrt{5}}}{5}{x_0}}}{{\sqrt{\frac{1}{5}x_0^2+4}}}=\frac{{\frac{{2\sqrt{5}}}{5}}}{{\sqrt{\frac{1}{5}+\frac{4}{x_0^2}}}}$，
因为$0＜{x_0}＜\sqrt{5}$，所以$\frac{4}{x_0^2}＞\frac{4}{5}$，所以$\sqrt{\frac{1}{5}+\frac{4}{x_0^2}}＞1$，所以$0＜\frac{{\frac{{2\sqrt{5}}}{5}}}{{\sqrt{\frac{1}{5}+\frac{4}{x_0^2}}}}＜\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，所以$0＜\frac{{|{P{F_1}}|-|{P{F_2}}|}}{{|{PO}|}}＜\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力．