Question

14．已知函数$f（x）=\frac{{1-\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）}}{cosx}$．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）设α是第四象限的角，且$sinα=-\frac{12}{13}$，求f（α）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦函数的定义域，求解函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数，二倍角公式化简求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由$cosx≠0，得x≠kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$．
故f（x）的定义域为$\{x|x≠kπ+\frac{π}{2}，k∈Z\}$．
（Ⅱ） $sinα=-\frac{12}{13}$，且α是第四象限的角，所以$cosα=\frac{5}{13}$，
又$f（α）=\frac{{1-\sqrt{2}sin（2α-\frac{π}{4}）}}{cosα}=\frac{1-sin2α+cos2α}{cosα}=\frac{{2{{cos}^2}α-2sinαcosα}}{cosα}=2cosα-2sinα$
=$2（\frac{5}{13}+\frac{12}{13}）=\frac{34}{13}$．

点评 本题考查同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，考查计算能力．