Question

17．已知公差不为0的等差数列{a_n}中，a₁，a₃，a₇成等比数列，且a_2n=2a_n-1，等比数列{b_n}满足b_n+b_n+1=$\frac{4}{{3}^{n+1}}$．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）公差d不为0的等差数列{a_n}中，a₁，a₃，a₇成等比数列，且a_2n=2a_n-1，可得$（{a}_{1}+2d）^{2}$=a₁（a₁+6d），a₂=2a₁-1=a₁+d，联立解出：a₁，d．可得a_n．等比数列{b_n}满足b_n+b_n+1=$\frac{4}{{3}^{n+1}}$．可得：b₁+b₁q=$\frac{4}{9}$，${b}_{1}（q+{q}^{2}）$=$\frac{4}{27}$，联立解出即可得出b_n．
（2）c_n=a_n•b_n=（n+1）$•\frac{1}{{3}^{n}}$．利用错位相减法即可得出．

解答 解：（1）∵公差d不为0的等差数列{a_n}中，a₁，a₃，a₇成等比数列，且a_2n=2a_n-1，
∴$（{a}_{1}+2d）^{2}$=a₁（a₁+6d），a₂=2a₁-1=a₁+d，
联立解得：a₁=2，d=1．
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
等比数列{b_n}满足b_n+b_n+1=$\frac{4}{{3}^{n+1}}$．
∴b₁+b₁q=$\frac{4}{9}$，${b}_{1}（q+{q}^{2}）$=$\frac{4}{27}$，
联立解得q=$\frac{1}{3}$=b₁，
∴b_n=$（\frac{1}{3}）^{n}$．
（2）c_n=a_n•b_n=（n+1）$•\frac{1}{{3}^{n}}$．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=$2×\frac{1}{3}+3×\frac{1}{{3}^{2}}$+$4×\frac{1}{{3}^{3}}$+…+（n+1）$•\frac{1}{{3}^{n}}$．
∴$\frac{1}{3}{T}_{n}$=2×$\frac{1}{{3}^{2}}+3×\frac{1}{{3}^{3}}$+…+n$•\frac{1}{{3}^{n}}$+（n+1）$•\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{2}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-（n+1）$•\frac{1}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{3}+\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-（n+1）$•\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
可得：T_n=$\frac{5}{4}$-$\frac{2n+5}{4×{3}^{n}}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．