Question

4．三棱锥P-ABC，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，$PA=AB=1，BC=\sqrt{2}$，（单位：cm），则三棱锥P-ABC外接球的体积等于$\frac{4π}{3}$cm³．

Answer 1

分析 补充图形为长方体，三棱锥P-ABC的外接球，与棱长为1，1，$\sqrt{2}$的长方体外接球是同一个外接球，用长方体的对角线长求外接球的半径，可得球的体积．

解答 解：三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，
PA=AB=1，BC=$\sqrt{2}$，
画出几何图形如图所示；

补充图形为长方体，则棱长分别为1，1，$\sqrt{2}$；
∵对角线长为$\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}{+（\sqrt{2}）}^{2}}$=2，
∴三棱锥D-ABC的外接球的半径为1，
∴该三棱锥外接球的体积为$\frac{4}{3}$×π×1³=$\frac{4π}{3}$cm³．
故答案为：$\frac{4π}{3}$．

点评 本题考查了空间几何体的性质，构建容易操作的几何体，把问题转化求解是关键．