Question

14．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是棱CC₁，BC的中点，点P在直线A₁B₁上．
（1）求直线PN与平面ABC所成的角最大时，线段A₁P的长度；
（2）是否存在点P，使平面PMN与平面ABC所成的二面角为$\frac{π}{6}$，若存在，请指明点P的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 以A为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标以及相关向量，
（1）求出平面ABC的一个法向量．利用向量的数量积，求解即可．
（2）设存在，$\overrightarrow{NM}=（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$，求出平面PMN的一个法向量$\overrightarrow{n}$，通过向量的数量积化简方程推出没有实数解即可说明不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°．

解答 解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A₁（0，0，1），B₁（1，0，1），
M（0，1，$\frac{1}{2}$），N（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{{A_1}P}=λ\overrightarrow{{A_1}{B_1}}=λ（{1，0，0}）$，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{A{A_1}}+\overrightarrow{{A_1}P}=（{λ，0，1}）$；$\overrightarrow{PN}=（{\frac{1}{2}-λ，\frac{1}{2}，-1}）$．…（2分）
（1）∵$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）是平面ABC的一个法向量．

∴$sinθ=|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{PN}＞|$=$\frac{|0+0-1|}{\sqrt{（{\frac{1}{2}-λ）}^{2}+\frac{1}{4}+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{（λ-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{5}{4}}}$，
∴当$λ=\frac{1}{2}$时，θ取得最大值，此时$sinθ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，tanθ=2
答：当$λ=\frac{1}{2}$时，θ取得最大值，此时tanθ=2．…（5分）
（2）设存在，$\overrightarrow{NM}=（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$，设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面PMN的一个法向量．
则$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0\\（\frac{1}{2}-λ）x+\frac{1}{2}y-z=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1+2λ}{3}x\\ z=\frac{2-2λ}{3}x\end{array}\right.$令x=3，得y=1+2λ，z=2-2λ；
∴$\overrightarrow{n}$=（3，1+2λ，2-2λ），…（7分）
∴|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$$＞|=\frac{{|{2-2λ}|}}{{\sqrt{9+{{（{1+2λ}）}^2}+{{（{2-2λ}）}^2}}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，化简得4λ²+10λ+13=0（*）
∵△=100-4×4×13=-108＜0，∴方程（*）无解，
∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°．…（10分）

点评 本题考查向量的数量积的应用，空间角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．