Question

15．已知数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为A_n，B_n，且A₁₀₀₀=2，B₁₀₀₀=1007．记C_n=a_n•B_n+b_n•A_n-a_n•b_n（n∈N*），则数列{C_n}的前1000项的和为2014．

Answer 1

分析 首项考查n=1的情况，然后当n≥2时，将递推关系整理为关于前n项和的算式，然后裂项求和即可求得最终结果．

解答 解：递推关系中，当n=1时：c₁=a₁b₁+b₁a₁-a₁b₁=a₁b₁=A₁B₁，当n≥2时，有：
c_n=（A_n-A_n-1）B_n+（B_n-B_n-1）A_n-（A_n-A_n-1）（B_n-B_n-1）=A_nB_n-A_n-1B_n-1，
据此可得：
c₁=A₁B₁，c₂=A₂B₂-A₁B₁，c₃=A₃B₃-A₂B₂，…，c_n=A_nB_n-A_n-1B_n-1，
以上各式相加可得：C_n=A_nB_n，令n=1000可得C₁₀₀₀=A₁₀₀₀B₁₀₀₀=2014．
故答案为：2014．

点评 本题考查数列的递推关系，裂项求和的应用，新定义的理解及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．