Question

5．在${（1+x）^3}{（1+\frac{1}{x}）^4}$的展开式中，含$\frac{1}{x^2}$的项的系数为21．

Answer 1

分析 解法一：把${（1+\frac{1}{x}）}^{4}$和（1+x）³分别利用二项式定理展开，可得含$\frac{1}{x^2}$的项的系数．
解法二：根据${（1+x）^3}{（1+\frac{1}{x}）^4}$=$\frac{{（1+x）}^{7}}{{x}^{4}}$，求得（1+x）⁷ 的展开式中x²的系数，即为所求．

解答 解：解法一：∵${（1+\frac{1}{x}）}^{4}$=${C}_{4}^{0}$+${C}_{4}^{1}$•$\frac{1}{x}$+${C}_{4}^{2}$•${（\frac{1}{x}）}^{2}$+${C}_{4}^{3}$•${（\frac{1}{x}）}^{3}$+${C}_{4}^{4}$•$\frac{1}{{x}^{4}}$，
∴在${（1+x）^3}{（1+\frac{1}{x}）^4}$=（1+3x+3x²+x³）•（ ${C}_{4}^{0}$+${C}_{4}^{1}$•$\frac{1}{x}$+${C}_{4}^{2}$•${（\frac{1}{x}）}^{2}$+${C}_{4}^{3}$•${（\frac{1}{x}）}^{3}$+${C}_{4}^{4}$•$\frac{1}{{x}^{4}}$ ）的展开式中，
含$\frac{1}{x^2}$的项的系数为${C}_{4}^{2}$+3${C}_{4}^{3}$+3${C}_{4}^{4}$=21，
故答案为：21．
解法二：${（1+x）^3}{（1+\frac{1}{x}）^4}$=（1+x）³•$\frac{{（1+x）}^{4}}{{x}^{4}}$=$\frac{{（1+x）}^{7}}{{x}^{4}}$，对于（1+x）⁷，它的展开式中x²的系数为${C}_{7}^{2}$=21，
故在${（1+x）^3}{（1+\frac{1}{x}）^4}$的展开式中，含$\frac{1}{x^2}$的项的系数为21，
故答案为：21．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．