Question

16．对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点，已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；
（2）对任意的实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a、b代入函数，根据条件“若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点”建立方程解之即可；
（2）对任意实数b，f（x）恒有两个相异不动点转化成对任意实数b，ax²+（b+1）x+b-1=x恒有两个不等实根，再利用判别式建立a、b的不等关系，最后将b看成变量，转化成关于b的恒成立问题求解即可．

解答 解：（1）当a=1，b=-2时，f（x）=x²-x-3，因为x₀为f（x）的不动点，
所以${x_0}^2-{x_0}-3={x_0}$即${x_0}^2-2{x_0}-3=0$解得x₀=-1，x₀=3，
所以-1和3是f（x）=x²-x-3的不动点，
（2）因为f（x）恒有两个相异的不动点
即方程f（x）=x恒有两个不同的解，即f（x）=ax²+（b+1）x+b-1=x，
即ax²+bx+b-1=0有两个不相等的实根，
所以b²-4a（b-1）＞0恒成立，
即对于任意b∈R，b²-4ab+4a＞0恒成立，
所以（-4a）²-4（4a）＜0⇒a²-a＜0，
所以0＜a＜1，
即a的取值范围为（0，1）．

点评 本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及恒成立问题的处理，属于中档题．