Question

7．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值为$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．

Answer 1

分析 用$|\overrightarrow{a}|$表示出$\overrightarrow{a}•$（2$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$），|2$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|，代入夹角公式计算．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{a}}^{2}$=-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{b}}^{2}$，
∴（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）²=4${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=7${\overrightarrow{a}}^{2}$，
∴|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$|$\overrightarrow{a}$|，
又$\overrightarrow{a}•$（2$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）=2${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{5}{2}$${\overrightarrow{a}}^{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，2$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}||2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{5}{2}{\overrightarrow{a}}^{2}}{|\overrightarrow{a}||\sqrt{7}\overrightarrow{a}|}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．
故答案为：$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．