Question

15．设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）-log₂x]=3，若方程f（x）+f′（x）=a有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （2+$\frac{1}{ln2}$，+∞）
• C． （2-$\frac{1}{ln2}$，+∞）
• D． （3，+∞）

Answer 1

分析 根据题意，由单调函数的性质，可得f（x）-log₂x为定值，可以设t=f（x）-log₂x，则f（x）=log₂x+t，又由f（t）=3，即log₂t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，对其求导可得f′（x）；将f（x）与f′（x）代入f（x）+f′（x）=a，求出函数的最小值，即可得答案．

解答 解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，f[f（x）-log₂x]=3，
∴f（x）-log₂x为大于0的常数，
设t=f（x）-log₂x，则f（x）=log₂x+t（t＞0），
又由f（t）=3，即log₂t+t=3，解得t=2；
∴f（x）=log₂x+2，f′（x）=$\frac{1}{xln2}$，
∴f（x）+f′（x）=log₂x+2+$\frac{1}{xln2}$=a，
设g（x）=log₂x+2+$\frac{1}{xln2}$，则g′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}ln2}$，
∴函数g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，
∴x=1时，函数取得最小值2+$\frac{1}{ln2}$，
∵方程f（x）+f′（x）=a有两个不同的实数根，
∴a＞2+$\frac{1}{ln2}$，
故选：B．

点评 本题考查函数零点与方程根的关系的应用，考查导数知识的运用，关键点和难点是求出f（x）的解析式．