Question

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\frac{2sinC-sinB}{sinB}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，sinC=3sinB，求b，c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据余弦定理以及两角和的正弦公式以及诱导公式和特殊角的三角函数值即可求出，
（Ⅱ）由正弦定理和余弦定理即可求出

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{2sinC-sinB}{sinB}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{2accosB}{2bccosA}$=$\frac{sinAcosB}{sinBcosA}$，
∴2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB，
∴2sinCcosA=sinBcosA+sinAcosB=sin（A+B）=sinC，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$，
（Ⅱ）∵sinC=3sinB，
∴c=3b，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA
∴4=b²+9b²-3b²=7b²，
∴b=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，c=$\frac{6\sqrt{7}}{7}$

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及和角的三角函数，属中档题．