Question

11．已知a+b=2，b＞0，当$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{b}$取最小值时，实数a的值是-2或$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 利用题意结合a+b=2等量代换，然后利用均值不等式的结论求解最值即可，利用等号成立的条件求解方程组即可求得最终结果．

解答 解：由题意可得：
$\frac{1}{2|a|}+\frac{|a|}{b}=\frac{a+b}{4|a|}+\frac{|a|}{b}=\frac{a}{4|a|}+\frac{b}{4|a|}+\frac{|a|}{b}≥\frac{a}{4|a|}+2\sqrt{\frac{b}{4|a|}×\frac{|a|}{b}}=\frac{a}{4|a|}+1$，
当且仅当 时等号成立，结合a+b=2可得：
$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
即实数a的值为-2或$\frac{2}{3}$．
故答案为：为-2或 $\frac{2}{3}$．

点评 本题考查均值不等式的应用，方程的解题思想，整体思想的应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．