Question

13．设数列{a_n}满足a₁=2，a₂=6，且a_n+2-2a_n+1+a_n=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则$[\frac{2017}{{a}_{1}}+\frac{2017}{{a}_{2}}+…+\frac{2017}{{a}_{2017}}]$=（　　）

• A． 2015
• B． 2016
• C． 2017
• D． 2018

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=2，a₂=6，且a_n+2-2a_n+1+a_n=2，即（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，利用等差数列的通项公式可得：a_n+1-a_n=2n+2．再利用累加求和方法可得a_n=n（n+1）．利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：数列{a_n}满足a₁=2，a₂=6，且a_n+2-2a_n+1+a_n=2，即（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，
∴数列{a_n+1-a_n}为等差数列，首项为4，公差为2．
∴a_n+1-a_n=4+2（n-1）=2n+2．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2n+2（n-1）+…+2×2+2
=$2×\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1）．
∴$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}）$=$1-\frac{1}{2018}$．
∴$[\frac{2017}{{a}_{1}}+\frac{2017}{{a}_{2}}+…+\frac{2017}{{a}_{2017}}]$=$[2017-\frac{2017}{2018}]$=2016．
故选：B．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法与裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．