Question

18．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，$∠BCD=\frac{2π}{3}$，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF=1．
（1）求证：EF⊥平面BCF；
（2）点M在线段EF（含端点）上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在梯形ABCD中，通过AD=CD=BC=1，求出AB=2，通过AB²=AC²+BC²．证明BC⊥AC，证明AC⊥CF，推出AC⊥平面BCF，即可证明EF⊥平面BCF．
（I2）由（I）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示建立空间直角坐标系，求出平面MAB的一个法向量，求出平面FCB的一个法向量，通过向量的数量积，推出平面MAB与平面FCB所成二面角，然后求解二面角的余弦值．

解答 解：（1）在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=CD=BC=1，
又∵$∠BCD=\frac{2π}{3}$，∴AB=2，∴AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=3．…（2分）
∴AB²=AC²+BC²．∴BC⊥AC．…（3分）
∵CF⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥CF，…（4分）  
 而CF∩BC=C，
∴AC⊥平面BCF．…（5分）
∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF．…（6分）
（2）由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示建立空间直角坐标系，
令FM=λ（$0≤λ≤\sqrt{3}$），则C（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），…（7分）
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{BM}$=（λ，-1，1），
设$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$为平面MAB的一个法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}x+y=0\\ λx-y+z=0\end{array}\right.$取x=1，则$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}-λ$），…（9分）
∵$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，

∴$cosθ=\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{1}{\sqrt{1+3+（\sqrt{3}-λ）^{2}×1}}$=$\frac{1}{\sqrt{（λ-\sqrt{3}）^{2}+4}}$．
∵$0≤λ≤\sqrt{3}$，∴当λ=0时，cosθ有最小值$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$，…（12分）
∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．

点评 本题考查平面向量的数量积的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．