Question

7．如图所示，直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD是平行四边形，AA₁=AB=B₁D₁=3，BC=2，E是边B₁C₁的中点，F是边CC₁上的动点，
（1）当C₁F=BC时，求证：BF⊥平面D₁EF；
（2）若BE⊥EF，求三棱锥B-D₁EF体积．

Answer 1

分析 （1）证明D₁E⊥B₁C₁，D₁E⊥CC₁，推出D₁E⊥平面B₁BCC₁得到D₁E⊥BF，证明BF⊥EF，即可证明BF⊥平面D₁EF．
（2）通过Rt△BB₁E∽Rt△FC₁E，推出$\frac{EF}{BE}=\frac{{E{C_1}}}{{B{B_1}}}$，求出EF，利用等体积法转化求解即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）因为底面A₁B₁C₁D₁是平行四边形，所以AB=B₁D₁=D₁C₁=3，E是B₁C₁的中点，
所以D₁E⊥B₁C₁…（1分）
在直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，因为CC₁⊥底面A₁B₁C₁D₁，D₁E?底面A₁B₁C₁D₁，
所以D₁E⊥CC₁，
又因为B₁C₁∩CC₁=C₁，所以D₁E⊥平面B₁BCC₁，…（2分）
又BF?平面B₁BCC₁，所以D₁E⊥BF…（3分）
在矩形BB₁C₁C中，因为CF=C₁E=1，BC=C₁F=2，
∴Rt△BCF≌Rt△FC₁E．
∴∠CFB=∠FEC₁，∠CBF=∠C₁FE，
∴∠BFE=90°，∴BF⊥EF，…（5分）
又∵D₁E∩EF=E，
∴BF⊥平面D₁EF…（6分）
（2）因为D₁E⊥平面BEF，所以D₁E是三棱锥B-D₁EF的高，且${D_1}E=2\sqrt{2}$，•（7分）
因为$BE=\sqrt{BB_1^2+{B_1}{E^2}}=\sqrt{10}$，…（8分）
因为BE⊥EF，所以Rt△BB₁E∽Rt△FC₁E，
所以$\frac{EF}{BE}=\frac{{E{C_1}}}{{B{B_1}}}$，
所以$EF=\frac{{\sqrt{10}}}{3}$，…（10分）
所以${V_{三棱锥B-{D_1}EF}}={V_{三棱锥{D_1}-BEF}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×EF×BE×{D_1}E=\frac{{10\sqrt{2}}}{9}$…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．