Question

16．若中心在原点、焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线方程为x+3y=0，则此双曲线的离心率为$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 当双曲线的焦点在y轴时，由一条渐近线为y=-$\frac{1}{3}$x，可得a=3b，代入可求e=$\frac{c}{a}$转化为a，b关系．

解答 解：双曲线的焦点在y轴时，一条渐近线为y=-$\frac{1}{3}$x，即$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{3}$，
变形可得b=3a，可得离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{10}a}{a}$=$\sqrt{10}$，
故此双曲线的离心率为：$\sqrt{10}$．
故答案为：$\sqrt{10}$．

点评 本题考查双曲线的离心率，涉及渐近线方程和分类讨论的思想，属中档题．