Question

8．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上．
（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（2）若二面角D-AP-C的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，求PF的长度．

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出异面直线BE与CP所成角的余弦值．
（2）求出平面APF的法向量和平面APC的法向量，利用向量法能求出结果．

解答 解：（1）∵∠BAF=90°，∴AF⊥AB，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，∴AF⊥平面ABCD，
∵四边形ABCD为矩形，∴以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，
建立如图所示空间直角坐标系O-xyz．
∴B（1，0，0），E（$\frac{1}{2}$，0，1）P（0，1，$\frac{1}{2}$），C（1，2，0）．
∴$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{1}{2}$，0，1）$\overrightarrow{CP}$=（-1，-1，$\frac{1}{2}$），
∴cos＜$\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{CP}$＞=$\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CP}}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{CP}|}$=$\frac{4\sqrt{5}}{15}$，
∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为$\frac{4\sqrt{5}}{15}$．
（2）∵AB⊥平面ADF，∴平面APF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
设P点坐标为（0，2-2t，t），在平面APC中，$\overrightarrow{AP}$=（0，2-2t，t）$\overrightarrow{AC}$=（1，2，0），
∴平面APC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（-2，1，$\frac{2t-2}{t}$），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5+（\frac{2t-2}{t}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
解得t=$\frac{2}{3}$，或t=2（舍），此时PF=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查满足角的余弦值的线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．