Question

18．已知点P在曲线y=e^x上，点Q在曲线y=lnx上，则|PQ|的最小值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 因曲线y=e^x与y=lnx关于直线y=x对称．所求的最小值为曲线y=e^x上的点到直线y=x最小距离的两倍．利用导数的几何意义即可得出．

解答 解：因曲线y=e^x与y=lnx关于直线y=x对称．
所求的最小值为曲线y=e^x上的点到直线y=x最小距离的两倍．
对y=e^x求导，可得y′=e^x，
设与直线y=x平行的切线的切点为M$（{x}_{0}，{e}^{{x}_{0}}）$，则${e}^{{x}_{0}}$=1，解得x₀=0，
可得切点M（0，1），则P到直线y=x的最小距离d=$\frac{|0-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴|PQ|的最小值是$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了利用导数切线、相互平行的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．