Question

3．若△OAB的垂心恰是抛物线y²=4x的焦点，其中O是原点，A，B在抛物线上，则△OAB的面积S=10$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据焦点为F（1，0），求出抛物线的方程，利用对称性，及AF⊥OB，向量乘积为-1，解得a（不妨取正值），即可计算面积．

解答 解：因为焦点为F（1，0），所以抛物线的方程是y²=4x．
设A（a²，2a），B（b²，2b），由抛物线的对称性可知，b=-a．
又因为AF⊥OB，得 $\frac{2a}{{a}^{2}-1}$•$\frac{2b}{{b}^{2}}$=-1，解得a=$\sqrt{5}$（不妨取正值），
从而可得△OAB面积是 $\frac{1}{2}$×5×4 $\sqrt{5}$=10$\sqrt{5}$．
故答案为：10$\sqrt{5}$．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查方程思想的运用，属于中档题．