Question

14．已知直角坐标原点O为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的中心，F₁，F₂为左右焦点，在区间（0，2）任取一个数e，则事件“以e为离心率的椭圆C与圆O：x²+y²=a²-b²没有交点”的概率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• B． $\frac{4-\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，把椭圆C与圆O：x²+y²=a²-b²没有交点转化为c＜b，由此求出e的范围，再由几何概型概率计算公式求解．

解答 解：如图，

圆O：x²+y²=a²-b²=c²，
要使椭圆C与圆O：x²+y²=a²-b²没有交点，则c＜b，
即c²＜b²=a²-c²，
∴a²＞2c²，则$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$$＜\frac{1}{2}$，
∴$-\frac{\sqrt{2}}{2}＜e＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，又0＜e＜1，
∴0$＜e＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴以e为离心率的椭圆C与圆O：x²+y²=a²-b²没有交点的概率P=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，训练了几何概型概率的求法，是中档题．