Question

2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若c=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简2ccosA+a=2b．可得2sinCcosA+sinA=2sinB，三角形内角和定理消去B，可得角C的值；
（2）根据c=2和角C的值，利用余弦定理建立关系，结合基本不等式的性质即可求解△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）已知2ccosA+a=2b．
正弦定理：可得2sinCcosA+sinA=2sinB，
即2sinCcosA+sinA=2sin（A+C）=2sinAcosC+2sinCcosA．
∴sinA=2sinAcosC，
∵0＜A＜π，sinA≠0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π．
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵c=2，cosC=$\frac{1}{2}$，
余弦定理，可得cosC=$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$．
即a²+b²=ab+4．
∴ab+4≥2ab，当且仅当a=b时取等
∴ab≤4．
那么△ABC面积S=$\frac{1}{2}$absinC$≤2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
故得△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正余弦定理的运用和基本不等式的性质的运用和计算能力．属于基础题．