Question

12．已知焦点在x轴上的椭圆C过点（0，1），且离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，Q为椭圆C的左顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知过点$（-\frac{6}{5}，0）$的直线l与椭圆C交于A，B两点．
①若直线l垂直于x轴，求∠AQB的大小；
②若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件列出a，b，c的关系，通过解方程即可得到椭圆方程．
（2）由（1）得Q（-2，0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），①当直线l垂直于x轴，求出l的方程．l的方程与C联列求解即可．②当直线l与x轴不垂直时，不存在直线l使得△QAB为等腰三角形；证明：设AB：$y=k（x+\frac{6}{5}）（k≠0）$，联立直线与椭圆方程在，通过△＞0，向量的数量积证明$\overrightarrow{QA}⊥\overrightarrow{QB}$，假设存在直线l使得△QAB为等腰三角形，则QA=QB．取AB的中点M，求出M的坐标，连接QM，则QM⊥AB，记点（$-\frac{6}{5}，0）$为N，通过向量的数量积就是$\overrightarrow{QM}$与$\overrightarrow{NM}$不垂直，得到结果．

解答 解：（1）设椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
由题意知：$b=1，\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，{a^2}=4$，
所以椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．                               （4分）
（2）由（1）得Q（-2，0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①当直线l垂直于x轴，l的方程为$x=-\frac{6}{5}$，（5分）
l的方程与C联列得$A（-\frac{6}{5}，\frac{4}{5}），B（-\frac{6}{5}，-\frac{4}{5}）$（不妨设点A在x轴上方），（6分）
此时k_AQ=1，k_BQ=-1，${k_{AQ}}•{K_{BQ}}=-1，∠AQB=\frac{π}{2}$（8分）
②当直线l与x轴不垂直时，不存在直线l使得△QAB为等腰三角形      （10分）
证明如下：由题意可设AB：$y=k（x+\frac{6}{5}）（k≠0）$，联列方程组得（25+100k²）x²+240k²x+144k²-100=0，
显然△＞0，$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=（{x_1}+2，{y_1}）•（{x_2}+2，{y_2}）$=$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+（2+\frac{6}{5}{k^2}）（{x_1}+{x_2}）+4+\frac{36}{25}{k^2}$=0，
所以$\overrightarrow{QA}⊥\overrightarrow{QB}$（12分）
假设存在直线l使得△QAB为等腰三角形，则QA=QB．取AB的中点M，${x_M}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{{24{k^2}}}{{5+20{k^2}}}，{y_M}=k（{x_M}+\frac{6}{5}）=\frac{6k}{{5+20{k^2}}}$，（13分）
连接QM，则QM⊥AB，记点（$-\frac{6}{5}，0）$为N，所以$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{NM}=\frac{{60+132{k^2}}}{{{{（5+20{k^2}）}^2}}}≠0$，
所以$\overrightarrow{QM}$与$\overrightarrow{NM}$不垂直，矛盾，
故不存在直线l使得△QAB为等腰三角形．        （16分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，存在性问题的解决方法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．