Question

1．已知点（2，3）在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$上，设A，B，C分别为椭圆的左顶点、上顶点、下顶点，且点C到直线AB的距离为$\frac{{4\sqrt{7}}}{7}b$．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁≠x₂）为椭圆上的两点，且满足$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\frac{{a}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+{b}^{2}{y}_{1}{y}_{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，求证：△MON的面积为定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出直线AB的方程为$\frac{x}{-a}+\frac{y}{b}=1$，点C（0，-b），利用点到直线的距离公式以及点的坐标满足题意方程，求出a，b即可点的椭圆方程．
（Ⅱ）设直线MN的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用判别式韦达定理以及向量的数量积，通过距离公式表示三角形的面积，然后推出定值．

解答 解：（Ⅰ）由题意，得直线AB的方程为$\frac{x}{-a}+\frac{y}{b}=1$，点C（0，-b），
∴点C到直线AB的距离$d=\frac{2ab}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=\frac{{4\sqrt{7}}}{7}b$，整理，得$\sqrt{3}a-2b=0$．　①
又点（2，3）在椭圆上，所以$\frac{4}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1$．　②
联立①②解得$a=4，b=2\sqrt{3}$，
所以椭圆的C的方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．（4分） 
（Ⅱ）设直线MN的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，并整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-48=0．
∵△=64k²m²-16（3+4k²）（m²-12）=48（12+16k²-m²）＞0，∴12+16k²-m²＞0，∴${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4（{m^2}-12）}}{{3+4{k^2}}}$，
∴${y_1}{y_2}=（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）={k^2}•{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}=\frac{{3{m^2}-48{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$．    （6分） 
又$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}$，则由题意，得${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{{{a^2}{x_1}{x_2}+{b^2}{y_1}{y_2}}}{{{a^2}+{b^2}}}=\frac{{16{x_1}{x_2}+12{y_1}{y_2}}}{16+12}$，
整理，得3x₁x₂+4y₁y₂=0，则$3•\frac{{4（{m^2}-12）}}{{3+4{k^2}}}+4•\frac{{3{m^2}-48{k^2}}}{{3+4{k^2}}}=0$，
整理，得m²=6+8k²（满足△＞0）．
∵$|MN|=\sqrt{1+{k^2}}•|{x_1}-{x_2}|$=$\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$═$\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{\frac{{48（12+16{k^2}-{m^2}）}}{{{{（3+4{k^2}）}^2}}}}$…（8分）
又点O到直线MN的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，（10分） 
∴${S}_{△MON}=\frac{1}{2}|MN|•d$=$\frac{1}{2}×8\sqrt{3}×\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{|m|}•\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$4\sqrt{3}$（定值）．    （12分）

点评 本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．