Question

13．已知点M（-lna，0），N（lna，0），其中a＞1，若圆C：x²+（y-2）²=1上不存在点P，使得∠MPN=90°，则实数a的取值范围是（1，e）∪（e³，+∞）．

Answer 1

分析 首先将问题转化为两圆的位置关系的问题，然后结合圆的位置关系得到关于实数a的不等式，求解不等式即可求得最终结果．

解答 解：设以MN位直径的圆为圆O：x²+y²=（lna）²，由题意可得：圆O与圆C外离或内含（圆C在圆O内部），
据此有：lna+1＜2或lna-1＞2，
即：0＜lna＜1或lna＞3，
求解不等式可得实数a的取值范围是：（1，e）∪（e³，+∞）．
故答案为：（1，e）∪（e³，+∞）．

点评 本题考查圆与圆的位置关系，对数不等式的解法，转化的思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．