Question

18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosB-bcosA=$\frac{1}{2}$c．
（Ⅰ）求证：tanA=3tanB；
（Ⅱ）若B=45°，b=$\sqrt{5}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）题中等式利用正弦定理化简，利用同角三角函数间基本关系整理即可得证；
（Ⅱ）由tanB的值确定出tanA的值，进而求出sinA与cosA的值，由sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入求出sinC的值，利用正弦定理求出c的值，由b，c，sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答 解：（Ⅰ）∵acosB-bcosA=$\frac{1}{2}$c，
∴由正弦定理化简得：sinAcosB-sinBcosA=$\frac{1}{2}$sinC=$\frac{1}{2}$sin（A+B）=$\frac{1}{2}$sinAcosB+$\frac{1}{2}$cosAsinB，
整理得：sinAcosB=3cosAsinB，
∵cosAcosB≠0，
∴tanA=3tanB；
（Ⅱ）∵tanA=3，∴sinA=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，cosA=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$得：a=$\frac{bsinA}{sinB}=3$
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{3}{\sqrt{10}}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{\sqrt{10}}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{\sqrt{5}}$
∴∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{5}$×$\frac{2}{\sqrt{5}}$3．

点评 此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．