Question

14．求数列$\frac{1}{1×3}$，$\frac{1}{3×5}$，$\frac{1}{5×7}$，…，$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，…的前n项和S_n．

Answer 1

分析 直接利用裂项法求解数列的和即可．

解答 解：因为$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
所以S_n=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}$[1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$]
=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列求和，裂项消项法的应用，考查计算能力．